羊车门问题

半只琵琶

一个经典的羊车门问题：
假设你在进行一个游戏节目。现给三扇门供你选择：一扇门后面是一辆轿车，另两扇门后面分别都是一头山羊。你的目的当然是要想得到比较值钱的轿车，但你却并不能看到门后面的真实情况。主持人先让你作第一次选择。在你选择了一扇门后， 知道其余两扇门后面是什么的主持人，打开了另一扇门给你看，而且，当然，那里 有一头山羊。现在主持人告诉你，你还有一次选择的机会。那么，请你考虑一下，你是坚持第一次的选择不变，还是改变第一次的选择，更有可能得到轿车？

oeloop

大概知道这是个很经典的问题，没看过具体解答，好像很复杂，好像也众说缤纷。没有怎么细看过。
我初略的看法是，直接选中的概率是3分之一，如果更换了中奖概率是零，那三分一乘零等于零；
如果没直接选中是三分之二，如果更换了必然中，那就是三分之二乘一等于三分之二；
这样就是零加三分之二，等于三分之二。所以改变更有可能中。

酱酱酱

可以列举几种情况嘛：
开始选中羊A，1/3,开门的是羊B，换了一定是车，获得车的概率是1/3
开始选中羊B，1/3,开门的是羊A，换了一定是车，获得车的概率是1/3
开始选中车，1/3,开门的是羊A，换了一定不是车，获得车的概率是0
开始选中车，1/3,开门的是羊B，换了一定不是车，获得车的概率是0
所以换了得车的概率是1/3*2=2/3
所以应该换

半只琵琶

楼上的想法基本是正确，我在网上找了个比较完整的解释。

设门后为车、甲羊、乙羊，第1次选定门，其后为车、甲羊、乙羊的概率均为1/3，因此可分为等概的3种情况：
情况1： 车 （1/3概率）
情况2： 甲羊（1/3概率）
情况3： 乙羊（1/3概率）
若坚持“换”的策略，情况1时得羊，情况2时得车，情况3时得车；若坚持“不换”的策略，情况1时得车，情况2时得羊，情况3时得羊。答案非常简单，应选择“换”的策略，这样会有2/3的机会得到车，绝不能选择“不换”的策略，这样只有1/3的机会得到车。

要是我上台去选择，心里会祈祷第1次选择让我选上羊吧，因为只要第1次我选中了羊，甲羊乙羊都行，然后主持人把另一只羊门打开，我只要一换，就一定能得车啊。

有些人认定变得车的概率是1/2，这是错误的，原因在于：如果在你第1次选择之前，主持人就将某个羊门打开，则变得车的概率的确是1/2，但很遗憾，题目不是这样的。由于第1次你指定了一个门，这个门后有1/3的可能是车，有2/3的可能是羊。所以主持人只能被动地以1/3的可能从2个羊门任选1个打开，以2/3的可能没有选择地将剩下的那个羊门打开。

其实，这是个典型的条件概率问题，如果你跟着我上面的分析思考，会觉得非常简单，但问题在于，如果你的概率论素养不够，在你独立思考时，很容易把甲羊乙羊混淆在一起。

为了更透彻地说明这个问题，我推广分析了n羊1车的情况，并分情况加以考虑：
换而得车情况：即第1次从n羊1车中选到羊，此情况概率为n/(n 1)，在此条件下，换而得车的概率为(n/(n 1))*(1/(n-1))……..(公式1)

换而得羊的情况，又分为以下两种情况：
情况一：第1次选到车，第2次换必然得羊，此概率为1/(n 1)
情况二：第1次选到羊，此情况概率为n/(n 1)，在此条件下，换而得羊的概率为(n/(n 1))*((n-2)/(n-1))
将上述两种情况合并，即换而得羊的概率为1/(n 1) (n/(n 1))*((n-2)/(n-1))……(公式2)
将换而得车与换而得羊的概率相加(n/(n 1))*(1/(n-1)) 1/(n 1) (n/(n 1))*((n-2)/(n-1))，其结果为1。这个“1”表明了上述分析并没有遗漏情况，是对上式是否正确的一个检验。

酱酱酱

我也去查了，的确是三分之二
还有人用程序做了模拟，经过大量次数的模拟，得出的换了以后获得车的概率接近三分之二。
会认为是二分之一的应该是把两只羊看做一只羊了

绽放着的

刚看的时候我是想着1/2来着，细想一下，第一次选择的结果也要放入考虑，要看作一个整体的流程

狗头侦探

哇，原来这么复杂的

cheese

酱酱酱 发表于 2017-12-12 17:02
我也去查了，的确是三分之二
还有人用程序做了模拟，经过大量次数的模拟，得出的换了以后获得车的概率 ...

我觉得这是最能让人信服的

敲钟人

以前被人科普过，说是1/2，就觉得哪里不对

LordX

最早接触这个问题是在一部电影 叫决战21点  这部电影不错的 大家可以去看看  我个人觉得是当你看见第一张牌的结果 概率就改变了 所以我觉得是2/3

bccoc

LordX 发表于 2017-12-14 01:18
最早接触这个问题是在一部电影 叫决战21点  这部电影不错的 大家可以去看看  我个人觉得是当你看见第一张牌 ...

是的，21点里有解释，是2/3

冰冰棒

我刚知道这题的时候也是觉得是没有影响还是原来的1/3

剑心

这难道就的等于把选择的难度降低了吗

周树人字冰心

酱酱酱 发表于 2017-12-12 17:02
我也去查了，的确是三分之二
还有人用程序做了模拟，经过大量次数的模拟，得出的换了以后获得车的概率 ...

这就实锤了