羊车门问题

半只琵琶

一个经典的羊车门问题：
假设你在进行一个游戏节目。现给三扇门供你选择：一扇门后面是一辆轿车，另两扇门后面分别都是一头山羊。你的目的当然是要想得到比较值钱的轿车，但你却并不能看到门后面的真实情况。主持人先让你作第一次选择。在你选择了一扇门后， 知道其余两扇门后面是什么的主持人，打开了另一扇门给你看，而且，当然，那里 有一头山羊。现在主持人告诉你，你还有一次选择的机会。那么，请你考虑一下，你是坚持第一次的选择不变，还是改变第一次的选择，更有可能得到轿车？

半只琵琶

楼上的想法基本是正确，我在网上找了个比较完整的解释。

设门后为车、甲羊、乙羊，第1次选定门，其后为车、甲羊、乙羊的概率均为1/3，因此可分为等概的3种情况：
情况1： 车 （1/3概率）
情况2： 甲羊（1/3概率）
情况3： 乙羊（1/3概率）
若坚持“换”的策略，情况1时得羊，情况2时得车，情况3时得车；若坚持“不换”的策略，情况1时得车，情况2时得羊，情况3时得羊。答案非常简单，应选择“换”的策略，这样会有2/3的机会得到车，绝不能选择“不换”的策略，这样只有1/3的机会得到车。

要是我上台去选择，心里会祈祷第1次选择让我选上羊吧，因为只要第1次我选中了羊，甲羊乙羊都行，然后主持人把另一只羊门打开，我只要一换，就一定能得车啊。

有些人认定变得车的概率是1/2，这是错误的，原因在于：如果在你第1次选择之前，主持人就将某个羊门打开，则变得车的概率的确是1/2，但很遗憾，题目不是这样的。由于第1次你指定了一个门，这个门后有1/3的可能是车，有2/3的可能是羊。所以主持人只能被动地以1/3的可能从2个羊门任选1个打开，以2/3的可能没有选择地将剩下的那个羊门打开。

其实，这是个典型的条件概率问题，如果你跟着我上面的分析思考，会觉得非常简单，但问题在于，如果你的概率论素养不够，在你独立思考时，很容易把甲羊乙羊混淆在一起。

为了更透彻地说明这个问题，我推广分析了n羊1车的情况，并分情况加以考虑：
换而得车情况：即第1次从n羊1车中选到羊，此情况概率为n/(n 1)，在此条件下，换而得车的概率为(n/(n 1))*(1/(n-1))……..(公式1)

换而得羊的情况，又分为以下两种情况：
情况一：第1次选到车，第2次换必然得羊，此概率为1/(n 1)
情况二：第1次选到羊，此情况概率为n/(n 1)，在此条件下，换而得羊的概率为(n/(n 1))*((n-2)/(n-1))
将上述两种情况合并，即换而得羊的概率为1/(n 1) (n/(n 1))*((n-2)/(n-1))……(公式2)
将换而得车与换而得羊的概率相加(n/(n 1))*(1/(n-1)) 1/(n 1) (n/(n 1))*((n-2)/(n-1))，其结果为1。这个“1”表明了上述分析并没有遗漏情况，是对上式是否正确的一个检验。